2027高考知识结构诊断 · 分区E

13. 若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 ______.

【诊断截取：仅作答第1问】

16. 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_n}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$.
(1) 证明：$\{na_n\}$ 为等差数列;
(2) 设 $f(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m$，求 $f'(-2)$.

【诊断截取：仅作答第2问】

17. 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和,已知 $a_1=1$ , $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 证明: $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<2$.

17. 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$, $a_{n+1}=\begin{cases} a_n+1, & n\text{为奇数}, \\ a_n+2, & n\text{为偶数}. \end{cases}$
(1) 记 $b_n=a_{2n}$,写出 $b_1, b_2$,并求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
(2) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的前20项和.

【诊断截取：仅作答第1问】

20. (12分)(2023·新高考 I)设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$ ,且 $d>1$.令 $b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$ ,记 $S_n,T_n$ 分别为数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.
(1) 若 $3a_2=3a_1+a_3$ , $S_3+T_3=21$ ,求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列,且 $S_{99}-T_{99}=99$ ,求 $d$.