20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了 $100$ 例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了 $100$ 人(称为对照组),得到如下数据:
| 不够良好 | 良好 | |
|---|---|---|
| 病例组 | 40 | 60 |
| 对照组 | 10 | 90 |
(1) 能否有 $99\%$ 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2) 从该地的人群中任选一人, $A$ 表示事件"选到的人卫生习惯不够良好", $B$ 表示事件"选到的人患有该疾病". $\frac{P(B\mid A)}{P(\bar{B}\mid A)}$ 与 $\frac{P(B\mid\bar{A})}{P(\bar{B}\mid\bar{A})}$ 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为 $R$.
(i) 证明: $R=\frac{P(\bar{A}\mid B)\cdot P(\bar{A}\mid\bar{B})}{P(A\mid B)\cdot P(A\mid\bar{B})}$;
(ii) 利用该调查数据,给出 $P(A\mid B),P(A\mid\bar{B})$ 的估计值,并利用(i)的结果给出 $R$ 的估计值.
附: $K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
| $P\left(K^2\geq k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
|---|---|---|---|
| $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |